Moving Average Process Stasioner

Perhatikan proses MA tak terbatas yang didefinisikan oleh epsilont epsilon epsilon epsilon, di mana a adalah konstanta dan epsilont s adalah iid N 0, v variabel acak. Apa cara terbaik untuk menunjukkan bahwa yt adalah nonstasioner Saya tahu bahwa saya perlu untuk melihat Pada akar karakteristik dari karakteristik polinomial dan kemudian menilai apakah mereka berada di luar lingkaran unit, tapi apa cara terbaik untuk mendekati masalah ini? Haruskah saya mencoba menulis ulang proses MA yang tak terbatas sehingga proses orde terbatas atau apakah itu? Lebih mudah untuk mengerjakan proses MA. asked 19 Okt 13 at 21 11.Apa itu AR autoregresif stasioner, MA rata-rata bergerak, dan proses ARMA campuran sementara. Stationary autoregressive AR process Stationary autoregressive AR processes memiliki fungsi autokorelasi teoritis ACF yang membusuk menuju nol, sebagai gantinya Pemotongan ke nol Koefisien autokorelasi mungkin berganti tanda sering, atau menunjukkan pola seperti gelombang, namun dalam semua kasus, mereka bergerak ke arah nol Sebaliknya, proses AR Ses dengan orde p memiliki fungsi autokorelasi parsial teoritis PACF yang terputus menjadi nol setelah lag p Durasi lag PACF akhir sama dengan urutan AR proses, p Rata-rata proses MA rata-rata ACF teoritis MA bergerak dengan proses rata-rata dengan urutan q Terputus ke nol setelah lag q, urutan proses MA Namun, peluruhan PACF teoritis mereka terhadap nol Panjang lag dari lonjakan ACF akhir sama dengan urutan MA proses, q Proses ARMA campuran bervariasi Proses campuran ARMA bervariasi menunjukkan campuran Dari karakteristik AR dan MA Baik ACF teoritis maupun ekor PACF tidak bergerak ke arah zero. Copyright 2016 Minitab Inc Semua hak dilindungi. Pengenalan Singkat tentang Seri Waktu Modern. Pengambilan Waktu Seri adalah fungsi acak dari argumen t dalam satu set T Dengan kata lain, deret waktu adalah keluarga dengan variabel acak x t-1 xtxt 1 yang sesuai dengan semua elemen di himpunan T, di mana T seharusnya merupakan rangkaian yang tak terhingga dan tidak terbatas. Pengukuran Item yang diamati Sebuah rangkaian realisasi kemungkinan yang tak terbatas yang mungkin telah diamati disebut ansambel. Untuk meletakkan segala sesuatu dengan lebih ketat, deret waktu atau fungsi acak adalah fungsi nyata. Xw, t dari dua variabel w dan t, dimana wW dan t T Jika kita memperbaiki nilai w kita memiliki fungsi nyata xtw dari waktu t, yang merupakan realisasi dari deret waktu Jika kita memperbaiki nilai t, Maka kita memiliki variabel acak xwt Untuk suatu titik waktu tertentu ada distribusi probabilitas di atas x Jadi fungsi acak xw, t dapat dianggap sebagai keluarga dengan variabel acak atau sebagai keluarga realisasi. Definisi Kami mendefinisikan fungsi distribusi Dari variabel acak yang diberikan t 0 sebagai P oxx Demikian pula kita dapat mendefinisikan distribusi bersama untuk n variabel acak. Poin-poin yang membedakan analisis deret waktu dari analisis statistik biasa adalah yang berikut 1 Ketergantungan di antara pengamatan pada chronolo yang berbeda. Poin penting dalam waktu memainkan peran penting Dengan kata lain, urutan pengamatan penting Dalam analisis statistik biasa, diasumsikan bahwa pengamatan saling bergantung 2 Domain t tidak terbatas 3 Kita harus membuat kesimpulan dari satu realisasi Realisasi Dari variabel acak dapat diamati hanya sekali pada setiap titik waktu Dalam analisis multivariat kita memiliki banyak pengamatan pada sejumlah variabel yang terbatas Perbedaan kritis ini mengharuskan asumsi adanya stasioneritas. Pengukuran Fungsi acak xt dikatakan benar-benar stasioner jika semua Fungsi distribusi berdimensi hingga menentukan xt tetap sama bahkan jika seluruh kelompok titik t 1 t 2 tn digeser sepanjang sumbu waktu. Jadi, jika bilangan bulat t 1 t 2 tn dan k Secara grafis, seseorang dapat membayangkan realisasi dari Seri stasioner yang ketat tidak hanya memiliki tingkat yang sama dalam dua interval yang berbeda, namun juga fungsi distribusi yang sama, sampai ke parameter Yang mendefinisikannya Asumsi stasioneritas membuat hidup kita lebih sederhana dan tidak mahal Tanpa stasioneritas, kita harus sering mencicipi proses pada setiap titik waktu untuk membangun karakterisasi fungsi distribusi dalam definisi awal Stationarity berarti kita dapat membatasi Perhatikan beberapa fungsi numerik yang paling sederhana, yaitu momen distribusi Saat-saat sentral diberikan oleh Definisi i Nilai rata-rata dari deret waktu t adalah momen orde pertama ii Fungsi autocovariance dari t adalah momen kedua. Tentang mean Jika ts maka Anda memiliki varians xt yang akan kita gunakan untuk menunjukkan autocovariance dari rangkaian stasioner, di mana k menunjukkan perbedaan antara t dan s iii Fungsi autokorelasi ACF dari t. Kita akan menggunakan untuk menunjukkan autokorelasi dari Seri stasioner, di mana k menunjukkan perbedaan antara t dan s iv Autokorelasi parsial PACF f kk adalah korelasi antara zt dan ztk setelah elimi Untuk saling ketergantungan linier pada variabel intervening zt 1 zt 2 zt k-1 Salah satu cara sederhana untuk menghitung autokorelasi parsial antara zt dan ztk adalah dengan menjalankan dua regresi tersebut. Kemudian hitung korelasi antara dua vektor residual. Atau, setelah mengukur Variabel sebagai penyimpangan dari meannya, autokorelasi parsial dapat ditemukan sebagai koefisien regresi LS pada zt pada model. Dimana titik di atas variabel menunjukkan bahwa itu diukur sebagai deviasi dari meannya. Persamaan Yule-Walker memberikan nilai penting. Hubungan antara autokorelasi parsial dan autokorelasi Kalikan kedua sisi persamaan 10 oleh zt kj dan mengambil harapan Operasi ini memberi kita persamaan perbedaan berikut di autocovariances. or, dalam hal autokorelasi. Representasi yang tampaknya sederhana ini benar-benar merupakan hasil yang ampuh Yaitu , Untuk j 1,2 k kita dapat menulis sistem persamaan penuh, yang dikenal sebagai persamaan Yule-Walker. Dari aljabar linear Anda k Sekarang matriks rs berposisi penuh Oleh karena itu, mungkin untuk menerapkan aturan Cramer secara berturut-turut untuk k 1,2 untuk menyelesaikan sistem autokorelasi parsial Tiga yang pertama adalah Kami memiliki tiga hasil penting pada rangkaian stasioner yang ketat. Implikasinya adalah Bahwa kita dapat menggunakan realisasi berurutan dari urutan untuk memperkirakan mean Kedua jika t benar-benar stasioner dan E t 2 kemudian. Implikasinya adalah bahwa autocovariance hanya bergantung pada perbedaan antara t dan s, bukan kronologisnya pada waktunya. Gunakan sepasang interval dalam perhitungan autocovariance selama waktu di antara keduanya konstan Dan kita dapat menggunakan realisasi data yang terbatas untuk memperkirakan autocovariances Ketiga, fungsi autokorelasi dalam hal stasioneritas ketat diberikan oleh. Implikasinya adalah bahwa autokorelasi hanya bergantung pada perbedaan antara t dan s juga, dan sekali lagi dapat diperkirakan oleh realisasi data yang terbatas. Jika tujuan kami adalah untuk Perkiraan parameter yang deskriptif dari kemungkinan realisasi dari deret waktu, maka mungkin stasioner yang ketat terlalu membatasi. Misalnya, jika mean dan kovarians dari xt konstan dan tidak bergantung pada titik kronologisnya, maka mungkin hal itu tidak penting bagi kita. Bahwa fungsi distribusi sama untuk interval waktu yang berbeda. Definisi Fungsi acak bersifat stasioner dalam arti luas atau lemah stasioner, atau stasioner dalam pengertian Khinchin, atau stasioner kovarian jika m 1 tm dan m 11 t, s. Strict stationarity tidak Tidak dengan sendirinya menyiratkan stasioner lemah Lemahnya stasioner tidak menyiratkan stasioneritas yang ketat Strict stationarity dengan E t 2 menyiratkan stasioneritas yang lemah. Teorema rrodik berkaitan dengan pertanyaan tentang kondisi yang diperlukan dan cukup untuk membuat kesimpulan dari realisasi tunggal deret waktu Pada dasarnya, Turun ke asumsi lemahnya stationarity. Theorem Jika t lemah stasioner dengan mean m dan fungsi kovarians, then. That Adalah, untuk setiap e 0 dan h 0 ada beberapa nomor T o sehingga untuk semua TT o jika dan hanya jika. Kondisi yang diperlukan dan cukup adalah autocovariances mati, dalam hal ini mean sampel adalah estimator yang konsisten untuk Mean populasi. Corollary Jika t lemah stasioner dengan E tkxt 2 untuk setiap t, dan E tkxtxtskxts tidak bergantung pada t untuk bilangan bulat apapun, then. if dan hanya jika di mana. Konsekuensi dari konsekuensi sebenarnya adalah asumsi bahwa xtxtk lemah Stasioner Teorema Ergodik tidak lebih dari sekedar undang-undang dalam jumlah besar bila pengamatannya berkorelasi. Seseorang mungkin bertanya pada hal ini tentang implikasi praktis dari stasioneritas Penerapan teknik rangkaian waktu yang paling umum adalah dalam memodelkan data ekonomi makro, baik teoritis maupun Atheoretik Sebagai contoh yang pertama, seseorang mungkin memiliki model multiplier-accelerator Agar model menjadi stasioner, parameter harus memiliki nilai tertentu Uji model kemudian mengumpulkan d yang relevan. Ata dan perkiraan parameter Jika perkiraan tidak sesuai dengan stasioneritas, maka kita harus memikirkan kembali model teoritis atau model statistik, atau keduanya. Sekarang kita memiliki cukup mesin untuk mulai membicarakan pemodelan data deret waktu univariat Ada empat Langkah dalam proses 1 model bangunan dari pengetahuan teoritis dan atau pengalaman 2 model identifikasi berdasarkan data yang diamati seri 3 sesuai model yang memperkirakan parameter model 4 memeriksa model Jika pada langkah keempat kita tidak puas kita kembali ke langkah Satu Prosesnya berulang-ulang sampai pengecekan lebih lanjut dan penilaian tidak menghasilkan perbaikan lebih lanjut dalam hasil Diagramatik. Definisi Beberapa operasi sederhana meliputi berikut Operator backshift Bx tx t-1 Operator depan Fx txt 1 Operator perbedaan 1 - B xtxt - x t - 1 Perbedaan operator berperilaku dalam mode yang konsisten dengan konstanta dalam rangkaian tak terbatas yaitu, kebalikannya adalah batasnya Jumlah yang tak terbatas Yaitu, -1 1-B -1 1 1-B 1 BB 2 Operator integrasi S -1 Karena ini adalah kebalikan dari operator perbedaan, operator gabungan berfungsi untuk membangun jumlah. PEMBANGUNAN MODEL Pada bagian ini kita Menawarkan tinjauan singkat tentang model deret waktu yang paling umum Berdasarkan pengetahuan seseorang tentang proses penghasil data, seseorang memilih kelas model untuk identifikasi dan estimasi dari kemungkinan yang diikuti. Prediksi Misalkan Ex tm tidak bergantung pada t Sebuah model seperti. Dengan karakteristiknya disebut model autoregresif dari p order, AR p. Pengukuran Jika suatu proses stochastic variabel dependen t memenuhi maka t dikatakan memenuhi properti Markov Pada LHS, ekspektasi dikondisikan pada sejarah tak terbatas Dari xt Pada RHS itu dikondisikan hanya pada sebagian dari sejarah Dari definisi, model AR p terlihat memuaskan properti Markov Menggunakan operator backshift kita dapat menulis model AR kita sebagai. Perema A diperlukan dan sufficie Kondisi n untuk model AR p menjadi stasioner adalah bahwa semua akar polinomial. lie berada di luar lingkaran unit. Contoh 1 Perhatikan AR 1 Akar satunya 1 f 1 B 0 adalah B 1 f 1 Kondisi untuk Stationarity mensyaratkan itu. Jika rangkaian yang diamati akan nampak sangat ingar-bingar. Dalam istilah white noise memiliki distribusi normal dengan mean nol dan varians satu tanda observasi beralih dengan hampir setiap pengamatan. Jika, di sisi lain, Tangan, maka seri yang diamati akan jauh lebih mulus. Pada seri ini observasi cenderung di atas 0 jika pendahulunya di atas nol Variansi et adalah se 2 untuk semua t varians dari xt bila memiliki mean nol, diberikan oleh Karena seri ini bersifat stasioner, kita dapat menulisnya. Fungsi autocovariance dari seri AR 1 adalah, seandainya tanpa kehilangan generalitas m 0.Untuk melihat seperti apa ini dari segi parameter AR, kita akan menggunakan fakta bahwa kita dapat Tuliskan xt sebagai berikut. Multiplying dengan x tk dan mengambil expec Tations. Perhatikan bahwa autocovariances mati sebagai k tumbuh Fungsi autokorelasi adalah autocovariance dibagi dengan varians istilah white noise Atau, Menggunakan rumus Yule-Walker sebelumnya untuk autokorelasi parsial yang kita miliki. Untuk AR 1, autokorelasi mati Secara eksponensial dan autokorelasi parsial menunjukkan lonjakan pada satu lag dan nol setelahnya. Contoh 2 Pertimbangkan AR 2 Polinomial yang terkait pada operator lag. Akar dapat ditemukan dengan menggunakan rumus kuadrat Akar. Bila akarnya nyata dan Sebagai konsekuensinya, rangkaian ini akan menurun secara eksponensial sebagai respons terhadap kejutan. Bila akarnya rumit dan rangkaiannya akan muncul sebagai gelombang tanda teredam. Teorema stasioneritas membebankan kondisi berikut pada koefisien AR. Autocovariance untuk proses AR 2, dengan Nol mean, is. Dividing through oleh varians xt memberikan fungsi autokorelasi Karena kita dapat menulis yang serupa untuk autokorelasi kedua dan ketiga. Autokorelasi dipecahkan secara rekursif Pola mereka diatur oleh akar persamaan diferensial linier kedua. Jika akarnya benar maka autokorelasi akan menurun secara eksponensial Bila akarnya rumit maka autokorelasi akan muncul sebagai gelombang sinus teredam. Dengan menggunakan Yule-Walker Persamaan, autokorelasi parsial adalah. Sekali lagi, autokorelasi mati perlahan Autokorelasi parsial di sisi lain cukup berbeda. Lonjakan pada satu dan dua kelambatan dan nol setelahnya. Peraga Jika xt adalah proses AR p diam maka dapat terjadi Secara ekuivalen ditulis sebagai model filter linier Yaitu, polinom di operator backshift dapat terbalik dan AR p ditulis sebagai rata-rata bergerak dari urutan tak terbatas. Contoh Misalkan zt adalah proses AR 1 dengan nol mean Apa yang benar untuk arus Periode juga harus benar untuk periode sebelumnya Jadi dengan substitusi rekursif kita bisa menulis. Persiapkan kedua sisi dan ambil ekspektasi. Di sisi kanan lenyap seperti K karena f 1 Oleh karena itu jumlah konvergen ke zt dalam mean kuadrat Kita dapat menulis ulang model AR p sebagai filter linier yang kita ketahui bersifat stasioner. Fungsi Autokorelasi dan Autokorelasi Parsial Umumnya Misalkan rangkaian stasioner zt dengan mean zero diketahui Menjadi autoregresif Fungsi autokorelasi dari AR p ditemukan dengan mengambil harapan dan membaginya melalui varian z t. Ini memberi tahu kita bahwa rk adalah kombinasi linear dari autokorelasi sebelumnya Kita dapat menggunakan ini dalam menerapkan aturan Cramer kepada saya. Dalam memecahkan untuk f kk Secara khusus kita dapat melihat bahwa ketergantungan linier ini akan menyebabkan f kk 0 untuk kp Fitur khas dari seri autoregressive ini akan sangat berguna ketika menyangkut identifikasi rangkaian yang tidak diketahui. Jika Anda memiliki MathCAD atau MathCAD Explorer maka Anda dapat melakukan eksperimen interactivley dengan beberapa ide ARP yang dipresentasikan di sini. Model Rata-rata Berpikir Pertimbangkan model dinamis di mana rangkaian minat hanya bergantung pada beberapa bagian dari t Dia sejarah istilah kerucut putih Secara diagram ini mungkin direpresentasikan sebagai. Definisi Misalkan pada adalah rangkaian variabel acak iid yang tidak berkorelasi dengan mean nol dan varian yang terbatas Maka proses rata-rata bergerak order q, MA q, diberikan oleh. Peraga A bergerak. Rata-rata proses selalu stasioner Bukti Daripada memulai dengan bukti umum kita akan melakukannya untuk kasus tertentu Misalkan zt adalah MA 1 Maka tentu saja, pada memiliki mean nol dan varian terbatas Mean zt selalu nol Autocovariances akan diberikan Oleh. Anda dapat melihat bahwa mean dari variabel acak tidak bergantung pada waktu dengan cara apapun Anda juga dapat melihat bahwa autocovariance hanya bergantung pada offset s, bukan pada di mana pada seri yang kita mulai Kita dapat membuktikan hasil yang sama lebih umum Dengan memulai dengan, yang memiliki representasi rata-rata bergerak alternatif Pertimbangkan dulu varians dari z t. Dengan substitusi rekursif Anda dapat menunjukkan bahwa ini sama dengan jumlah yang kita ketahui sebagai rangkaian konvergen sehingga variansnya adalah f Inite dan tidak bergantung pada waktu Kovariansi adalah, misalnya. Anda juga dapat melihat bahwa kovariansi otomatis hanya bergantung pada titik relatif pada waktunya, bukan pada kronologis dari titik waktu Kesimpulan kami dari semua ini adalah bahwa proses MA tidak bergerak Untuk Umum MA q memproses fungsi autokorelasi diberikan oleh. Fungsi autokorelasi parsial akan mati dengan lancar. Anda dapat melihatnya dengan membalik proses untuk mendapatkan proses AR. Jika Anda memiliki MathCAD atau MathCAD Explorer maka Anda dapat melakukan eksperimen secara interaktif dengan beberapa dari mereka. MA q gagasan yang dipaparkan di sini. Model Autoregressive - Moving Average. Dimaksudkan adalah urutan acak dari variabel acak iid dengan mean nol dan varian yang terbatas Kemudian proses rata-rata bergerak otomatis, p, q, ARMA p, q, diberikan By. The akar operator autoregresif semua harus berada di luar lingkaran unit Jumlah yang tidak diketahui adalah pq 2 P dan q jelas 2 mencakup tingkat proses, m dan th E varians dari istilah white noise, sa 2.Suppose bahwa kita menggabungkan representasi AR dan MA kita sehingga modelnya dan koefisiennya dinormalisasi sehingga bo 1 Maka representasi ini disebut ARMA p, q jika akarnya 1 Semua terletak di luar lingkaran unit Anggaplah bahwa yt diukur sebagai penyimpangan dari mean sehingga kita bisa drop ao maka fungsi autocovariance berasal dari. Jika jq maka istilah MA drop out dalam harapan untuk memberi. Artinya, fungsi autocovariance terlihat. Seperti AR yang khas untuk kelambatan setelah q mereka mati dengan mulus setelah q, tapi kita tidak bisa mengatakan bagaimana 1,2,, q akan terlihat Kita juga dapat memeriksa PACF untuk kelas model ini Model dapat dituliskan sebagai. Kita dapat menulis ini Sebagai proses MA inf. yang menunjukkan bahwa PACF s mati secara perlahan Dengan beberapa aritmatika kita bisa menunjukkan bahwa ini terjadi hanya setelah lonjakan p pertama yang disumbangkan oleh bagian AR. Empirical Law Sebenarnya, rangkaian waktu stasioner dapat diwakili oleh P 2 dan q 2 Jika bisnis Anda menyediakan Perkiraan yang baik terhadap kenyataan dan kebaikan yang sesuai adalah kriteria Anda, maka model yang hilang lebih disukai Jika minat Anda adalah efisiensi prediktif, maka model yang pelit lebih diutamakan. Eksperimen dengan gagasan ARMA yang disajikan di atas dengan lembar kerja MathCAD. Autoregressive Mengintegrasikan Moving Average Models. MA Filter AR filter Mengintegrasikan filter. Kadang-kadang proses, atau seri, kita mencoba untuk model tidak diam di tingkat Tapi mungkin diam dalam, katakanlah, perbedaan pertama Artinya, dalam bentuk aslinya, autocovariances untuk seri mungkin tidak independen. Dari segi kronologis waktu Namun, jika kita membuat seri baru yang merupakan perbedaan pertama dari seri aslinya, seri baru ini memenuhi definisi stasioneritas. Hal ini sering terjadi pada data ekonomi yang sangat trending. Definisi Misalkan zt adalah Tidak stasioner, tapi zt-z t-1 memenuhi definisi stasioneritas Juga, pada, istilah white noise memiliki mean dan varian yang terbatas Kita dapat menulis Model as. Ini dinamakan ARIMA p, d, q model p mengidentifikasi urutan operator AR, d mengidentifikasi daya pada q mengidentifikasi urutan operator MA Jika akar f B terletak di luar lingkaran unit maka kita Dapat menulis ulang ARIMA p, d, q sebagai filter linier I e dapat ditulis sebagai MA Kami menyimpan pembahasan tentang pendeteksian akar unit untuk bagian lain dari catatan kuliah. Pertimbangkan sistem dinamis dengan xt sebagai rangkaian masukan. Dan yt sebagai rangkaian keluaran Secara diagram yang kita miliki. Model-model ini adalah analogi diskrit dari persamaan diferensial linear Kami menganggap hubungan berikut ini. Dimana b menunjukkan penundaan yang murni Ingatlah bahwa 1-B Dengan membuat substitusi ini, model dapat ditulis. Jika koefisien polinomial Pada yt bisa dibalik maka modelnya bisa dituliskan sebagai. VB dikenal sebagai fungsi respon impuls. Kita akan menemukan terminologi ini lagi dalam pembahasan kita selanjutnya tentang vektor kointegrasi autoregresif vektor dan koreksi kesalahan. IDENTIFIKASI MENTAH Setelah memutuskan Pada kelas model, seseorang sekarang harus mengidentifikasi urutan proses yang menghasilkan data. Artinya, seseorang harus membuat perkiraan terbaik mengenai urutan proses AR dan MA yang mengemudikan seri stasioner. Seri stasioner benar-benar ditandai oleh meannya. Dan autocovariances Untuk alasan analitis, biasanya kita bekerja dengan autokorelasi dan autokorelasi parsial Dua alat dasar ini memiliki pola unik untuk proses AR dan MA stasioner Seseorang dapat menghitung perkiraan sampel fungsi autokorelasi dan autokorelasi parsial dan membandingkannya dengan hasil tabulasi untuk model standar. Fungsi Autocovariance. Contoh Autocorrelation Function. Autokorelasi parsial parsial akan dilakukan. Dengan menggunakan autokorelasi dan autokorelasi parsial cukup sederhana pada prinsipnya Misalkan kita memiliki seri zt dengan mean nol, yaitu AR 1 Jika kita menjalankan regresi zt 2 Pada zt 1 dan zt kita akan berharap untuk menemukan bahwa koefisien pada zt tidak berbeda dari ze Karena autokorelasi parsial ini seharusnya nol Di sisi lain, autokorelasi untuk seri ini seharusnya menurun secara eksponensial untuk meningkatkan kelambatan melihat contoh AR 1 di atas Anggaplah bahwa rangkaian tersebut benar-benar merupakan rata-rata bergerak Autokorelasi harus nol di mana-mana kecuali pada Lag pertama Autokorelasi parsial harus mati secara eksponensial Bahkan dari kegilaan kita yang sekilas melalui dasar analisis deret waktu jelas bahwa ada dualitas antara proses AR dan MA Dualitas ini dapat diringkas dalam tabel berikut.